ОКНЗ "Софіївська ЗОШ І-ІІІ ступенів"

 





Яндекс цитирования

Методичний посібник по темі:"РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ". 3 частина.

 

                                                                            COGITO ERGO SUM Мислю -отже існую.

ПІФАГОР. ПОШУКИ ГАРМОНІЇ

Великий давньогрецький вчений Піфагор народився на острові Самос біля узбережжя Іонії у VI ст. до Р.Х. Як свідчать історики, він не тільки був знайомий з Фалесом Мілетським, а й за порадою останнього помандрував до Єгипту в пошуках мудрості. Говорять, що він мандрував по Вавілонії, зустрічався з Зороастром, у якого ознайомився з ідеєю про дві первинні причини речей (дуалізм), дехто вказує, що він помандрував до Індії, що, мабуть, не є достовірним. Потім повернувся до Іонії, але коли на Самосі почав правити тиран Полікрат (у 532 р. до Р.Х.), Піфагор відбув до грецької колонії в Італії. Там в містечку Кротоні на півдні півострова він заснував свою школу, яка стала називатись Піфагорейським союзом (або кротонським братством).

Про самого Піфагора відомо дуже мало, він постає практично як легендарна особистість: від нього не залишилось ні твору, ні фрагменту, невідомо, чи писав він щось взагалі сам. Піфагорійський союз був якийсь час досить впливовою організацією, навіть, в деяких історичних фрагментах говориться, що піфагорійці в Кротоні та інших містах прийшли до влади. Також відомо, що в союза було багато ворогів, і коли до влади прийшли супротивники піфагорійців, то їх почали безжалісно знищувати. По одній з версій, коли в одному домі згоріли найближчі друзі Піфагора, то він покінчив життя самогубством. За другою версією Піфагор подався до Метапонту, де й помер.

Піфагорійський союз існував досить тривалий час, та після смерті Піфагора нагадував якийсь чернечий союз, але це були спілки, членами яких могли бути й жінки, що для Давньої Греції було незвичайно та свідчило про деякі демократичні завоювання, та деякий виклик до суспільства. До речі, філософи-жінки існували в Давній Греції лише в піфагорійський школі. Стиль життя союзу був досить замкнений. З самого початку вчення Піфагора було езотеричне, а розповсюджувати ідеї Піфагора, виносити їх за межі Піфагорійського союзу було суворо заборонено. Лише пізніше один з послідовників Піфагора - Філолай, терплячі велику грошову потребу, продав три трактати Піфагора, і лише завдяки цьому ідеї Піфагора стали відомі за межами союзу.

Головна мета існування Піфагорійського союзу - це усвідомлення гармонії Всесвіту через релігійно-філософські та наукові (насамперед, математичні) пошуки.

З цих пошуків можна виділити наступне: вчення про число, як початок Всесвіту, вчення про душу, та вчення про спосіб життя. Життя самих членів.

Піфагорійського союзу було досить впорядковане: кожен член цього союзу рано-вранці, до того як підвестись з ліжка, мав був спланувати свій день. Потім, заспокоївши свою душу грою на лірі, він починав займатись за розкладом. День проходив так: наукові заняття, релігійні заходи (богослужіння), плавання в морі (злиття з природою), фізичні вправи. Перед відходженням до сну кожен член союзу повинен був пригадати три речі: що він зробив за минулий день, що він не зробив за цей день та що йому потрібно зробити завтра. Головною метою для піфагорійців було прагнення до істини, бо тільки це, як вважав Піфагор, наближає людей до Першорозуму. Саме власно за це Піфагор вважається засновником терміна "філософія". Сам Піфагор протипоставив себе семи грецьким мудрецям (мудрець за грецькою - зоґоб). Тільки Бог є мудрець, а людей Піфагор вважав лише тими, хто полюбляє мудрість (філософія з грец.- любомудрість).

У своєму вченні про душу Піфагор стверджував безсмертя душі, тому для її поєднання з Істиною потрібно моральне удосконалення особистості. Саме цьому був підкорений весь спосіб життя піфагорійців.

Як же можна пізнати Істину та перейти до споглядання вічного, незмінного Першорозуму від чуттєвого, мінливого світу? В цьому велику роль віддавав Піфагор математиці. Початком всього він вважав число. Існує легенда, як Піфагор прийшов саме до такого висновку. Одного разу він проходив поруч з кузнею та почув, як по на ковальні б'ють різні молоти. Він звернув увагу на те, що молоти різних розмірів та різної ваги створюють різний звук. Йому спало на думку, що, навіть така якісна категорія, як звук, може бути пов'язана з визначеною кількістю, тобто числом. Отже, в основі всього лежить саме число - саме воно є першопричиною всього.

Існує і інше обґрунтування такого висновку. Розуміння духовного світу можна отримати завдяки явищам з світу почуттів, але світ почуттів не завжди відображує істину. Матерія як мінлива, непостійна, а, значить, неістинна не може привести нас до розуміння істини. Тому між матеріальним та духовним світом потрібен деякий посередник, і таким посередником, за Піфагором, є число, бо воно є те, що, з одного боку, можна чітко уявити, а, з другого боку, воно немінливе, і завдяки цьому відрізняється від явищ світу почуттів.

Піфагорова ідея про число як першопочаток всього існуючого досить складна. Піфагор першим помітив, що сила та єдність наук базується на роботі з ідеальними об'єктами. Наприклад, пряма лінія - це не тетива лука і не промінь світла: вони мають товщу, а пряма товщі не має. Те ж відноситься до геометричної площини та поверхні води в спокійному водоймищі або до числа 5 та п'ятьох пальців руки. Ідеальні об'єкти (числа або фігури) зустрічаються тільки в математичних міркуваннях. І тільки для них є вірними наукові висновки. Тому математика є якби "другим зором" людини: вона відкриває розуму ідеальні об'єкти, тоді, коли звичайні почуття говорять нам про властивості природничих тіл.

Піфагорійці власні дослідження називали "матема", що означає "науки" та поділяли їх на чотири частини: арифметику, геометрію,астрономію та музику (музика вважалась частиною математики - яскравий приклад гармонійного розуміння всесвіту).

 

 

АРИФМЕТИКА

Піфагорійці уявляли числа як сукупності точок, які утворюють геометричні конфігурації. Число, таким чином, - "множина одиниць" (грец. "артимос"). В школі визнавали тільки натуральні числа, які поділялись на парні та непарні. Всі вони виходять з одиниці, яка поєднує в собі всі числа та є початком світу, тому що одиниця - це символ єдності, тотожності, рівності, цілісності. За одиницею йде двійця, яка символізує різницю, нерівність, мінливість, все те, що складається з частин. Трійця - це те, що має середину, тобто все досконале. А одним з най досконалих є десятка. Як всі числа діляться на парні та непарні, так і все у світі підкорено цим числам. Все в світі складається з протилежностей: парне - не пране, одиниця-множина, праве-ліве, чоловіче-жіноче, світле-темне, добре-погане. Все існує в силу цих протилежностей. Коли виникає перевага однієї з протилежностей, виникає відсутність гармонії, що в людині, наприклад, виявляється як хвороба.

Піфагорійці довели першу теорему подільності: добуток двох чисел парний тоді і тільки тоді, коли парним є хоч один з множників. Піфагорійці були дослідниками відношень (пропорцій) цілих чисел. Вони, наприклад, могли стверджувати, що 2 так відноситься до 3, як 4 до 6. Тобто вони побудували теорію раціональних чисел як теорію пар.

Піфагорійці поставили задачу находження досконалих чисел.

Досконалими називаються числа, які дорівнюють сумі всіх власних дільників (тобто всіх дільників, включаючи одиницю та виключаючи саме число). __

Такими числами, наприклад, є 6 і 28: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. В "Початках" Евкліда говориться, що дивовижну властивість досконалих чисел відкрили саме піфагорійці: якщо число р=1+2+4+...+2п = 2П - 1 просте, то число 2" *р досконале. У вірності цього твердження можно переконатися, якщо розглянути всі власні дільники

числа 2" *р: 1,2,4,..., 2П,2П+1- 1, 2*(2П+1- 1), 4*(2П+1- 1),..., 2П+,*(2П+1- 1) - та обчислити їх суму.

За свідченням античного філософа Ямвліха, Піфагор, на питання, кого він вважає своїм другом, відповів: "Того, хто є моїм другим Я, як числа 220 та 284". Так Піфагор показав , що йому відомі дружні числа.

 

Дружніми числами називають два натуральних числа т та п, якщо сума власних дільників т дорівнює п, а сума власних дільників п дорівнює т.

Піфагорова пара 220 та 284 так бентежила математиків, що слідуючу пару (17296 та 18416) знайшли вчені Ібн-аль-Банна та П'єр Ферма лише через декілька віків. Третю пару (9363584 та 9437056) знайшов в 1638 р. Рене Декарт.

 

                                                           ГЕОМЕТРІЯ

Нажаль невідомо, які аксіоми знаходились в основі геометрії піфагорійців, але відомо, що всі вони відносились до планіметрії прямолінійних фігур. Досліджувались властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів та інших плоских фігур, порівнювались іх площі. Але вінцем геометричних досліджень було доведення найвідомішої теореми Піфагора.

Формули, які пов'язують між собою довжини відрізків, площі, величини кутів, називають метричними співвідношеннями. Метричним співвідношенням є й теорема Піфагора:Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Дійсно, без імені Піфагора не можна уявити сьогодні цієї теореми. Але це ствердження було відомо математикам за багато віків до Піфагора. Воно зустрічається і у вавилонських клинописах, і в давньоіндійських трактатах, але вважається, що саме Піфагору належить перше логічне та послідовне доведення цієї теореми.

З часів Піфагора з'явилось декілька сотень доведень його видатної теореми, за кількістю доведень вона попала до Книги рекордів Гінеса. Але ж принципово різних ідей доведень використовується небагато.

У "Початках" Евкліда теорема Піфагора надається в наступному вигляді: "Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площин квадратів, побудованих на катетах". Зміст досить складного доведення полягає в тому, що більший квадрат подається у вигляді суми двох частин, рівновеликих меншим квадратам. Але можна просто розрізати перший квадрат на частини, які складаються в два інших квадрата. Прикладом подібного доведення можна вважати й так зване "шарнірне" доведення, тому що в ньому змінюються місцями тільки дві частини, рівні даному трикутнику, причому вони прикріплені до останньої фігури на шарнірах, навколо яких вони обертаються.

 

 

 

Інший суто геометричний спосіб прямого доведення теореми Піфагора - не розтин, а доповнення квадратів до рівних фігур рівними же фігурами. Наступний малюнок демонструє доведення такого типу.

 

 

 

В слідуючій групі доведень теореми Піфагора використовуються формули для обчислення площі, тобто геометрія в них поєднується з алгеброю. Одно з таких доведень надається в трактаті індійського математика XII ст. Бхаскарі. Воно є особливим, тому що складається з єдиного слова "Дивись!". Історики вважають, що Бхаскара виразив площу квадарата с[1], який побудований на гіпотенузі, як суму площ чотирьох трикутників 4(аЬ/2) та площі квадрата зі стороною, яка дорівнює різниці катетів в квадраті, тобто

 

 

с = 4аЬ/2 +(а-Ь) Після спрощення ця рівність перетворюється на знайому формулу с = а22 "

 

 

 

 

 

 

 

 

     В цілому ряді доведень використовується подібність трикутників. Найбільш розповсюджене слідуюче. Висота, яка проведена до гіпотенузи, поділяє даний прямокутний трикутник площі Б на дві подібні площі 8а та 8Ь. При цьому його сторони є гіпотенузами трьох трикутників. Площі трикутників відносяться, як квадрати цих сторін:

Ба : 8Ь : 8 = а2: Ь2: с2. Але + 8а = Б. Отже, с2= а22 .

 

с

 

 

Завдяки тому, що теорема Піфагора дозволяє обчисляти довжину відрізка (гіпотенузи), ни вимірюючи його безпосередньо, вона якби відкриває шлях з прямої на площину, з площини у трьохвимірний простір і далі, багатовимірні простори. Цим визначається іі виключна важність для геометрії та математики в цілому.

По свідоцтву грецького історика математики Прокла (412-485 рр.) Піфагору приписується ще декілька видатних доведень в геометрії:

  1. Теорема про суму внутрішніх кутів трикутника.
  2. Задача про покриття. Піфагор шляхом побудови та деякими міркуваннями довів, що площина може бути заповнена (покрита) без накладок або правильними трикутниками, або квадратами, або правильними шестикутниками.
  3. Геометричні способи розв'язання квадратного рівняння.
  4. Алгоритм розв'язання задачі: "За даними двома фігурами побудувати третю, яка була б рівновелика одній з даних, та подібна іншій".

Той же самий Прокл та давньогрецький історик Плутарх (46-126 рр.) стверджують, що Піфагор розв'язав слідуючи задачі на побудову:

  1. Побудова середнього пропорційного між двома даними відрізками.
  2. Побудова паралелограма на даному відрізку, який дорівнює даному та має кут, який дорівнює заданому куту.
  3. Побудова правильного п'ятикутника.

Також Піфагор та його учні, крім правильного п'ятикутника, вміли будувати правильні многокутники, у яких кількість сторін дорівнює: 3,4,6,8,10,16. Але вони були неспроможні побудувати правильні фігури з 7,9, та 11 кутами.

Перші математичні доведення в сучасному розумінні відносять до часів Фалеса та Піфагора. Саме в цей час виник звичай супроводжувати математичний факт його обґрунтуванням, тобто не тільки повідомляти факт,

але й доводити його істину. З часів Піфагора слова "математика" та "доведення" стали ідентичними.

АСТРОНОМІЯ ТА МУЗИКА

Музика в античному світі була частиною математики. Це дозволяло Піфагору зробити висновок про існування так званої музики сфер. Планети при русі видають деякий звук, кожна своєї висоти. Цей звук ми не чуємо лише тому, що він має весь час одну й ту ж висоту. І ми народжуємось в цьому звуці й сприймаємо його як деякий фон. Це явище Піфагор назвав музикою сфер. Всього в світі існує 10 небесних тіл. Число 10 було для Піфагора одним з досконалих. Піфагору було відомо 9 небесних тіл, включаючи Землю, Сонце, Місяць, Меркурій, Венеру, Марс, Юпітер, Сатурн, Нептун. Тому за небесне 10-те тіло він запропонував деяку Протиземлю. Всі планети обертаються навколо центрального вогню, який ми з Землі не бачимо, тому що Земля повернута до нього, за уявленнями піфагорійців, завжди однією стороною. І Протиземля також не видна, тому що завжди знаходиться проти цього вогню з іншої сторони. Музику сфер можна почути тільки після смерті, а Піфагор почув її ще при земному житті. Строй музичної арфи світу повинен був також підкорюватись законам математики. Наприклад, піфагорійці помітили, що такі музичні інтервали, як октава, квінта та кварта, відповідають звучанню пари однаково натягнених струн, довжини яких знаходяться у відношенні 1:2, 2:3 та 3:4. Так склалась теорія музичної шкали, а основні музичні інтервали стали пояснюватись через дроби, але поняттям дробу піфагорійці не користувались, вони лише говорили про відношення цілих чисел. Всі ці відкриття ще більше переконали піфагорійців у справедливості тези:що "все є число", тобто закони природи - це закони цілих чисел та іх відношень, та саме математика найбільш чітко описує гармонічні процеси всесвіту.

ВІДКРИТТЯ ІРРАЦІОНАЛЬНОСТІ

Спочатку піфагорійці дійсно вважали, що відношення будь-яких фізичних та геометричних величин можна виразити відношеннями цілих чисел. Наприклад, вони вважали, що всі відрізки спів вимірювані, тобто якими б не були два відрізка АВ та СБ, існує такий відрізок а, який ціле число разів вкладається як по довжині АВ так і по довжині СО, отже, геометрію можна звести до арифметики.

 

 

 

 

Але через деякий час піфагорійці зробили відкриття, яке перевернуло всі їх погляди, вони довели, що відношення діагоналі до сторони квадрата не можна виразити через відношення цілих чисел. 1

 

 

 

За теоремою Піфагора довжина діагоналі дорівнює VI2 +12 = Піфагорійці довели, що діагональ квадрата зі стороною 1 не можна записати через відношення деяких чисел ш та п. А це означає, що десяткове розкладання числа не має ніякої закономірності.

Існує легенда, що це відкриття дуже порушило струнку систему всесвітньої гармонії піфагорійців, яка була прив'язана до цілого числа, і піфагорійці ретельно приховували цей факт. Але дехто Гипас з Метапонту повідомив людям "жахливу" таємницю існування неспіввимірних величин, та його було покарано: він затонув у морі під час бурі.

Наслідки відкриття піфагорійців.

Як довести, що число v2 ірраціональне. Припустимо, що існує

раціональне число m/n, таке, що m/n= V2. Дріб m/n будемо вважати

нескороченим ( бо той дріб, що скорочується, можна скоротити. Обидві

частини піднесемо до квадрату, отримаємо m2=2n2. Звідси m - парне, тобто 2 2 2 2 2 2 т=2к, тоді т =4к і, значить, 2п =4к , або п =2к . Але тоді виходить, що п -

парне, а цього не може бути, тому що дріб m/n нескорочена. Отже,

раціонального числа m/n, яке дорівнює V2 не існує.

 

 

 

 

                                                                   ВИСНОВКИ

Математичні успіхи зацікавили піфагорійців та понудили їх шукати в математиці ключ всього пізнання. Саме у сфері математики не існує кривди, тому Піфагор і вважав математику як сяйво божественного світла. Ті істинні знання, які є доступними до людини, є знання математичні, які розкриваються в окремих теоремах геометрії, в теорії чисел, в математичній фізиці - вважав Піфагор. А досконале, божественне знання є універсальним математичним знанням: світ позначається через число, значить саме число є початок всього. Ідея нескінченності виникла у зв'язку з уявленням про всесвіт. В філософії нескінченність розуміють як відсутність початку та кінця часу та простору. З філософським поняттям нескінченності пов'язана й математичне поняття нескінченності, як однієї з математичних абстракцій. Воно зустрілося ще Піфагору, коли мова йшла про натуральний ряд чисел:

1,2,3,4,5___ В геометрії поняття нескінченності зустрічається при уявленні

прямої. Математика та філософія розвивались у співпраці. Грецькі філософи та математики розробляли проблему нескінченності та дискретності. Уявлення простору як множини точок, які є неподільними привело піфагорійців до теорії чисел (дискретних об'єктів). Піфагорійці намагались поширити своє вчення про цілечислену основу всього існуючого й на геометричні величини. Основою таких міркувань було гармонійне  уявлення про всесвіт, який об'єднаний тими зв'язками, які, безумовно є, та які не завжди можна пояснити. Необхідність математичного світо пояснення дало сильний поштовх математиці та її прикладному використанню у фізиці. Вчення про гармонію та число, про дихання світу, з якого народжується простір та час, про гармонію сфер та релігійне вчення - це напрямки людської думки, які дуже поширив свого часу саме Піфагор.

Ці уявлення дозволяють припустити, що математика виникла не тільки як практична необхідність, а скоріше виникла як поезія, живопис, взагалі, мистецтво через духовні потреби людина, можливо через його не до кінця свідоме прагнення до пізнання та красоти.

Великий вчений, який все своє життя називав себе так: "математик Іоганн Кеплер", писав: "Видовище, яке відкривається перед нами, - не театральні під містки, а сам Всесвіт, який приховує багато таємниць". Та одна з них відкрилась йому, та відома зараз світові, як третій закон Кеплера: квадрат відношення періодів обертання двох планет дорівнює кубу відношень довжин великих півосей іх орбіт. Математика говорить про рух планет! Почуття відкритої таємниці найбільш дивовижне, та саме воно стоїть біля колиски наукових досліджень.

Ще один вчений Герман Вейль сказав такі дивовижні слова про математику: "Математика відіграє досить значну роль у формуванні нашого духовного обличчя. Заняття математикою - подібно до міфотворчості, літератури та музики - це одна з найбільш властивих людині сфер творчої діяльності, в якій проявляється сутність людини, прагнення до інтелектуальної сфери життя, яка є одним з проявів світової гармонії".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

Подобається